Учебно-методические материалы по медицинской информатике и статистике с сайта 1mgmu.com

Это - учебно-методические материалы по медицинской информатике и статистике с сайта 1mgmu.com

9.3.7 Использование электронной таблицы Excel для расчета динамики численности биологических популяций Динамика в модели с дискретным временем

Неожиданной и неприятной особенностью математических моделей является то, что некоторые, казалось бы, незначительные изменения могут полностью изменить характер получаемого решения.
Выше были рассмотрены модели без возрастной структуры, в которых предполагалось, что плодовитость и смертность членов популяции не зависят от их возраста.
Рассмотрим обратный предельных случай – когда считается, что поколения сменяют друг друга без перемешивания.
Пусть N(k) – численность k-ого поколения. Тогда N(k+1)=a(N(k))*N(k), где a - функция рождаемости, зависящая от численности популяции.
В качестве примера рассмотрим a(N)=R*exp(-N), то есть при увеличении численности плодовитость падает. Параметр R соответствует плодовитости в максимально благоприятных условиях отсутствия конкуренции. Если R<1, то популяция вымирает, поэтому проведем расчет при R>1.
Начнем с небольшого значения R=1,5.

Решение стремится к постоянному значению, характер решения не зависит от начального значения, но уже получено первое отличие – решение не всегда монотонно. При начальном значении N=10 численность ко второму поколению упала до малой величины, а потом начала расти.
Проведем расчеты при увеличивающемся значении R.

Видно, что при увеличении плодовитости не только увеличивается предельная численность, но и степень выраженности «прыжков» уменьшающейся амплитуды через постоянное значение.
При дальнейшем увеличении R на величине, примерно равной 7,387, происходит бифуркация. Характер решения меняется – оно становится периодическим с периодом 2. Дальнейшее увеличение R увеличивает величину периодических колебаний.

При продолжении увеличения параметра происходит еще одна бифуркация, и динамика становится с 4-летним циклом, который увеличивает выраженность при увеличении параметре R:

Дальше бифуркации происходят не только все чаще – они и усложняются. При следующем увеличении цикл утраивается, и у решения – 12-летняя периодичность.

При дальнейшем увеличении R, наоборот, цикл меняется на 6-летний:

Дальше получается еще интересней – при увеличении R система начинает вести себя как случайная:

Рассмотренная модель динамики популяций с дискретной структурой популяций вполне соответствует некоторым реальным популяциям, например, однолетних растений или насекомых, чей жизненный цикл жестко регулируется временем года. Модель показывает, что для таких популяций возможны динамики разных типов – и постоянной численности, и периодические с периодом в несколько лет, и случайные с нерегулярными мало предсказуемыми вспышками численности.
Более того, модель показывает, что при улучшении условий популяции с постоянной численностью перейдут в режим периодической динамики с периодом в несколько лет, а далее – со случайной динамикой с непредсказуемыми вспышками размножения. Сейчас такой тип динамики показывают некоторые насекомые-вредители, такие, как саранча и непарный шелкопряд.

Оглавление раздела нижнего уровня
Оглавление раздела верхнего уровня
ОГЛАВЛЕНИЕ ОГЛАВЛЕНИЙ

НА ГЛАВНУЮ СТРАНИЦУ САЙТА

Материалы используются на Едином Образовательном Пространстве Первого московского государственного медуниверситета им. И.М. Сеченова